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Saturday, 7 July , 2012 / ermes

“…demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet”


Come invito ad una piacevolissima lettura, riporto la Prefazione del libro di Amir D. Aczel, L’enigma di Fermat. Ovverosia la Soluzione di un giallo matematico durato più di tre secoli.

Nel giugno del 1993 il mio vecchio amico Tom Schulte era venuto a trovarmi a Boston dalla California. Ce ne stavamo seduti al sole in un caffè all’aperto di Newbury Street, con delle bibite ghiacciate davanti a noi. Tom aveva appena divorziato ed era pensieroso. Si girò a metà verso di me. «A proposito» disse «hanno dimostrato l’Ultimo Teorema di Fermat.» Mentre tornava a guardare la zona pedonale, pensai che doveva essere un’altra delle sue battute. Vent’anni prima io e Tom eravamo stati compagni di stanza alla University of California, a Berkeley, quando studiavamo tutti e due matematica. A quel tempo parlavamo spesso dell’Ultimo Teorema di Fermat; e parlavamo anche di funzioni, insiemi, campi numerici, topologia. Nessuno studente di matematica dormiva molto la notte, perché le cose che avevamo da studiare erano difficilissime; era questo a distinguerci dagli studenti degli altri corsi. A volte avevamo incubi matematici, come cercare di dimostrare questo o quel teorema prima di essere chiamati a farlo il mattino seguente. Ma l’Ultimo Teorema di Fermat? Nessuno pensava che sarebbe stato dimostrato, nell’arco della nostra vita; era così difficile, e tanti avevano cercato di provarlo per più di trecento anni. Sapevamo benissimo che interi settori della matematica erano stati sviluppati proprio tentando di dimostrarlo; ma tutti i tentativi erano falliti, uno dopo l’altro.

L’Ultimo Teorema di Fermat era diventato il simbolo dell’irraggiungibile, tanto che una volta ero riuscito a trarre profitto da quella sua presunta inviolabilità. Era successo qualche anno dopo, sempre a Berkeley: mi ero già laureato in matematica e stavo studiando per il master in ricerca operativa. Un dottorando in matematica, molto presuntuoso ma ignaro dei miei studi, si offrì di aiutarmi. Ci eravamo appena conosciuti all’International House, dove alloggiavamo entrambi. «Io sono di matematica pura» disse. «Se ti dovesse capitare un problema matematico che non sai risolvere, chiedi pure a me.» Fece per andarsene, ma lo fermai: «Ah, ecco… C’è una cosa in cui mi puoi aiutare…». Si girò: «Ma certo, vediamo pure». Presi un tovagliolino di carta (eravamo in sala da pranzo) e vi scrissi sopra, lentamente:

x elevato a n + y elevato a n = z elevato a n           non ha soluzioni intere se n è maggiore di 2.

«È da ieri sera che cerco di dimostrarlo» dissi porgendogli il tovagliolo. Lo vidi sbiancare in volto. «L’Ultimo Teorema di Fermat» mormorò. «Sì» dissi io. «Tu sei di matematica pura, mi puoi aiutare?» Non mi è mai più capitato di incontrarlo.«Dico sul serio» insisté Tom, finendo la sua bibita. «Andrew Wiles. Ha dimostrato l’Ultimo Teorema di Fermat a Cambridge, pochi giorni fa. Ricordati questo nome. Ne sentirai parlare molto.»

Quella sera Tom era già sull’aereo di ritorno, diretto in California; nei mesi successivi capii che non mi aveva preso in giro e seguii tutta la successione degli eventi: prima Wiles venne applaudito, poi saltò fuori una lacuna nella sua dimostrazione, lui sparì per un anno e alla fine tornò alla carica con una dimostrazione corretta. Ma mentre seguivo questa complessa vicenda mi resi conto che Tom si era sbagliato. Non era al nome di Andrew Wiles che dovevo fare attenzione; o almeno, non solo a quello. Dovevo ancora capire (come del resto gran parte del mondo) che la dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat non era stata affatto opera di un solo matematico. Wiles aveva avuto la sua parte di gloria; ma il riconoscimento spetta, in misura almeno uguale, anche ad altri: Ken Ribet, Barry Mazur, Goro Shimura, Yutaka Taniyama, Gerhard Frey, solo per ricordarne alcuni. Questo libro ripercorre l’intera vicenda della soluzione dell’enigma di Fermat, compreso ciò che è accaduto dietro le quinte, fuori dal campo delle telecamere e dei riflettori dei media. Perché questa è anche una storia di inganni, intrighi e tradimenti.

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3 Comments

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  1. Eva Descriv / Jul 7 2012 11:18 AM

    Pierre de Fermat, francese, vissuto nel Seicento, era un magistrato che coltivava l’hobby della matematica. Ma sebbene fosse appunto un dilettante, dato che la sua professione era quella del giudice, egli fu, come scrisse lo storico della matematica E.T. Bell, attivo nei primi anni del Novecento, il “principe dei dilettanti”. Secondo Bell, Fermat aveva ottenuto risultati più importanti di quelli della maggior parte dei matematici “professionisti” dell’epoca e anzi era stato l’autore più prolifico del Seicento, un secolo che aveva visto all’opera alcuni dei massimi cervelli matematici di tutti i tempi.

    Una delle conquiste più stupefacenti di Fermat fu l’elaborazione delle idee fondamentali del calcolo infinitesimale, tredici anni prima che Isaac Newton nascesse. La tradizione più diffusa attribuisce congiuntamente a Newton e al suo coetaneo Gottfried Wilhelm von Leibniz il merito di aver concepito quella teoria matematica che tratta di moto, accelerazione, forze, orbite e altri concetti matematici applicati alle trasformazioni continue, vale a dire quello che oggi chiamiamo calcolo infinitesimale.

    Fermat era affascinato dall’opera degli antichi matematici greci, ed è possibile che siano stati proprio due di questi, Archimede ed Eudosso, vissuti rispettivamente nel III e IV secolo a.C., a ispirarlo nell’elaborazione del calcolo infinitesimale. Studiava le opere degli antichi, che ai suoi tempi circolavano in traduzioni latine, in ogni momento libero; aveva un lavoro a tempo pieno (era un magistrato importante), ma la sua passione era cercare di generalizzare le conquiste degli antichi e trovare sempre nuove bellezze nelle loro scoperte, sepolte a lungo nell’oblio. “Ho trovato un gran numero di teoremi straordinariamente belli” disse una volta; e questi teoremi li annotava ai margini delle traduzioni di opere antiche che possedeva.

    Fermat era figlio di un mercante di pellami, Dominique Fermat, secondo console della città di Beaumont-de-Lomagne, e di Claire de Long, proveniente da unafamiglia di magistrati dell’ordine giudiziario. Era nato nell’agosto del 1601 (fu battezzato il 20 di quel mese a Beaumont-de-Lomagne) e i suoi genitori lo avviarono agli studi per diventare magistrato. Studiò a Tolosa, dove divenne Commissario alle Richieste all’età di trent’anni; nello stesso anno (1631) sposò Louise de Long, una cugina della madre. Pierre e Louise ebbero cinque figli: tre maschi e due femmine; uno dei maschi, Clément Samuel, divenne l’esecutore testamentario scientifico del padre e pubblicò postume le sue opere. L’edizione delle opere di Fermat che ci è pervenuta è appunto quella pubblicata dal figlio, ed è grazie a essa che noi conosciamo il celebre Ultimo Teorema. Clément Samuel de Fermat infatti si era resoconto dell’importanza di quel teorema annotato a margine, e l’aveva aggiunto all’edizione dell’opera di Diofanto da lui ripubblicata.

    In genere si parla della vita di Fermat come di un’esistenza tranquilla, stabile e priva di eventi esteriori. Svolgeva il suo lavoro onestamente e con dignità, e nel 1648 fu promosso a una funzione importante, consigliere del re al Parlamento provinciale di Tolosa; conservò questa posizione fino alla morte, nel 1665. Considerato il suo intenso lavoro per la corona, cui consacrò una vita di servizio devoto, abile e coscienzioso, molti storici non riescono a spiegarsi come riuscisse a trovare il tempo e l’energia mentale per elaborare una matematica di prim’ordine, scrivendone per giunta libri e libri. Uno studioso francese ha avanzato l’ipotesi che l’incarico ufficiale di Fermat fosse, di fatto, vantaggioso per i suoi studi matematici, dato che i magistrati dei parlements, che erano anche le supreme corti di giustizia francesi, dovevano, almeno in teoria, ridurre al minimo le loro relazioni non professionali, onde evitare le tentazioni dei donativi e di altre forme di corruzione; e poiché Fermat aveva sicuramente bisogno di distrarsi, dato che il suo lavoro era molto impegnativo e lo obbligava a limitare la vita di società, la matematica doveva offrirgli quel diversivo di cui aveva tanto bisogno. D’altronde le idee di base del calcolo infinitesimale non furono affatto la sua unica conquista; Fermat ci ha lasciato anche la teoria dei numeri…

    Fra le traduzioni latine dei testi antichi, tanto care a Fermat, c’era quella di un libro intitolato Arithmetica, del matematico greco Diofanto, vissuto ad Alessandria nel III secolo d.C. Intorno al 1637 Fermat scrisse in latino, a margine del suo Diofanto (accanto a un problema di scomposizione di un quadrato in due quadrati):

    D’altra parte non è possibile scomporre un cubo in due cubi, un biquadrato in due biquadrati o in generale ogni potenza, eccetto il quadrato, in due potenze con lo stesso esponente. Di ciò ho scoperto una dimostrazione veramente meravigliosa. Tuttavia la ristrettezza del margine non basterebbe a contenerla.

    Questa misteriosa affermazione ha tenuto occupate generazioni di matematici nel tentativo di trovare la “dimostrazione veramente meravigliosa” che Fermat sosteneva di possedere… Poco dopo il 1800 tutti gli altri teoremi di Fermat erano stati dimostrati o confutati; questo, a prima vista molto semplice, rimaneva insoluto, e perciò ebbe il nome di Ultimo Teorema di Fermat. Era o non era vero? Nel nostro secolo sono stati impiegati i computer per cercare di svelare questo enigma; ora, i computer potevano verificarlo per numeri grandissimi, ma non certo per tutti i numeri. Si potevano provare miliardi e miliardi di numeri, ma ne rimanevano comunque infiniti altri (e infiniti altri esponenti) da controllare. Per confermare l’Ultimo Teorema di Fermat era necessaria una dimostrazione matematica. Nell’Ottocento le Accademie delle scienze di Francia e Germania offrirono un premio a chiunque avesse trovato una prova, e ogni anno migliaia dimatematici, dilettanti e ciarlatani mandavano le loro “dimostrazioni” a riviste scientifiche e commissioni giudicatrici, rimanendo alla fine sempre a mani vuote.

    (stesso volume, ed. Milano 1998, pagg. 18-9 e 21-3)

  2. Eva Incant / Jul 7 2012 11:50 AM

    Wiles ha detto che la sua è una “dimostrazione del XX secolo”, ed effettivamenteha ha usato il lavoro di molti matematici del Novecento, ma anche dei secoli precedenti; i mille e mille elementi delle sue costruzioni vengono tutti dall’opera di altri autori, di molti altri. Perciò la dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat in realtà è la conquista di un gran numero di matematici… a partire dall’epoca dello stesso Fermat. Secondo Wiles, Fermat non avrebbe mai potuto avere in mente questa prova quando scrisse la sua famosa glossa; e questa è la pura verità, perché prima del XX secolo la Congettura di Shimura-Taniyama non esisteva. Ma poteva avere in testa un’altra dimostrazione?

    La risposta, probabilmente, è no; ma questa non è una certezza. Non lo sapremo mai. D’altronde Fermat visse ancora ventotto anni dopo avere scritto il suo teorema sul margine, e non ne parlò mai più. Forse sapeva di non poterlo dimostrare, oppure riteneva, erroneamente, che il metodo della discesa infinita da lui utilizzato per provare il semplice caso di n = 3 valesse anche come soluzione generale. O magari si dimenticò semplicemente del teorema e si mise a fare altre cose.

    Per dimostrare il Teorema come è stato dimostrato, finalmente, negli anni Novanta c’è voluta molta più matematica di quella che Fermat poteva conoscere. La profondità del teorema risiede nel fatto che non solo la sua storia copre l’intero arco della civiltà umana, ma la soluzione finale è stata ottenuta imbrigliando, e in un certo senso unificando, la matematica in tutta la sua ampiezza. È stata questa unificazione di settori matematici apparentemente eterogenei a permettere, alla fine, di centrare il risultato.

    E anche se è stato Andrew Wiles a dare l’ultima (e importante) spinta, dimostrando una variante della Congettura di Shimura-Taniyama, indispensabile per confermare il Teorema di Fermat, l’impresa, nel suo insieme, è stata opera di molte persone, e sonostati tutti i loro contributi messi insieme a rendere possibile la soluzione finale. Senza l’opera di Ernst Kummer non ci sarebbe stata la teoria degli ideali, senza ideali l’opera di Barry Mazur non sarebbe esistita, senza Mazur non ci sarebbe stata la Congettura di Frey, senza questa cruciale congettura e senza la sua sintesi da parte di Serre, Ribet non avrebbe dimostrato che la Congettura di Shimura-Taniyama implicava l’Ultimo Teorema di Fermat. Né sembra che sia possibile una dimostrazione dell’Ultimo Teorema senza la Congettura proposta da YutakaTaniyama a Tokyo-Nikko nel 1955, e successivamente affinata e perfezionata da Goro Shimura. O forse sì?

    Naturalmente Fermat non avrebbe potuto formulare una congettura così generale,capace di unificare due rami della matematica molto diversi. O forse sì? Nulla si può affermare con certezza al riguardo. Sappiamo solo che il Teorema alla fine è stato confermato e che la dimostrazione è stata controllata e verificata nei minimi particolari da decine di matematici di tutto il mondo.

    Ma il solo fatto che una dimostrazione esista e che sia molto complicata e avanzata non significa che non ne sia possibile una più semplice, tanto che Ribet, in uno dei suoi articoli, indica una direzione nella quale forse sarebbe possibile dimostrare il Teorema di Fermat senza la Congettura di Shimura-Taniyama. E forse Fermat conosceva molta feconda matematica “moderna”, oggi perduta (sta di fatto comunque che la copia del Diofanto di Bachet sulla quale avrebbe scritto la sua glossa non è mai stata ritrovata). Insomma, Pierre de Fermat possedeva o no una “dimostrazione veramente meravigliosa” del suo Teorema, che tuttavia il margine della pagina era troppo angusto per contenere? Questo resterà, in eterno, il suo enigma.

    (idem, 131-2 e 134)

  3. Eva Deriv / Jul 12 2012 3:11 PM

    Un’antica società di adoratori del numero tenuti al segreto per giuramento

    Pitagora nacque nell’isola greca di Samo intorno al 580 a.C. Viaggiò a lungo per tutto il mondo antico: visitò Babilonia, l’Egitto e forse anche l’India. Durante questi viaggi venne in contatto con diversi matematici, soprattutto a Babilonia, e probabilmente ebbe notizia dei loro studi sui numeri che oggi portano il suo nome, le terne pitagoriche, che gli scienziati e matematici babilonesi conoscevano da più di millecinquecento anni. Incontrò anche gli artefici di splendide opere artistiche e architettoniche, e gli aspetti matematici di queste meraviglie non potevano sfuggirgli.

    Durante i suoi viaggi conobbe inoltre le idee religiose e filosofiche dell’Oriente. Poco dopo essere tornato in Grecia, Pitagora lasciò l’isola di Samo e si trasferì a Crotone, che allora era una colonia greca sulla costa calabra. Vale la pena di ricordare che il filosofo vide sicuramente con i suoi occhi la maggior parte delle sette meraviglie del mondo antico. Una di queste, il tempio di Era, sorgeva proprio a Samo, dove era nato; oggi le rovine del magnifico edificio (delle centinaia di colonne che lo sostenevano, solo una è rimasta in piedi) si trovano a poca distanza dalla moderna cittadina di Pythagorion, che ha preso il nome dall’illustre figlio dell’isola.

    Pochi chilometri più a nord, al di là di un breve braccio di mare, in una località che oggi appartiene alla Turchia, sorgeva il tempio di Diana a Efeso, un’altra delle sette meraviglie dell’antichità. Non lontano, a sud di Samo, vi era il colosso di Rodi. Le piramidi e la Sfinge si trovano in Egitto e Pitagora potè vederle, così come vide, a Babilonia, i celebri giardini pensili.

    A quell’epoca Crotone, con la Calabria e gran parte dell’Italia Meridionale, apparteneva al mondo greco, o meglio alla Magna Grecia. Questa “grande Grecia” comprendeva colonie sparse per tutto il Mediterraneo Orientale: a esse si aggiunse poi Alessandria d’Egitto, con una popolazione prevalentemente greca (i cui discendenti continuarono ad abitare la città fino all’inizio del XX secolo). Non lontano da Crotone c’erano grotte con oracoli simili a quello di Delfi, del quale si diceva che predicesse la sorte e il futuro di uomini e nazioni.

    Il numero è tutto

    Nelle sterili e dure terre dell’estremo Sud d’Italia, Pitagora fondò una società segreta che si dedicava allo studio dei numeri. Si attribuisce a questa società, i cui membri ebbero il nome collettivo di pitagorici, l’elaborazione di un consistente corpus di scoperte matematiche, svolta sempre in completa segretezza.

    Si attribuisce ai pitagorici una filosofia riassumibile nella massima secondo cui “il numero è tutto”; essi adoravano i numeri, e riconoscevano loro qualità magiche. Li interessavano i numeri “perfetti”; una delle definizioni di numero perfetto (un concetto che continuò a essere studiato anche nel Medioevo ed è presente in dottrine mistiche come la Cabala ebraica) è quella di numero che è somma dei suoi fattori. L’esempio migliore di numero perfetto, e il più semplice, è il 6…

    Il loro interesse per i numeri assomigliava moltissimo a una religione, e c’erano credenze religiose anche alla base della loro dieta strettamente vegetariana. Non ci è pervenuto alcundocumento che risalga all’epoca di Pitagora, ma si è tramandata una vasta letteratura posteriore sul maestro e i suoi seguaci.

    Pitagora è considerato uno dei più grandi matematici dell’antichità; gli si attribuisce la scoperta del teorema (detto appunto di Pitagora) sui quadrati dei lati di un triangolo rettangolo, che ha forti legami con leterne pitagoriche e in definitiva anche con l’Ultimo Teorema di Fermat, posteriore di duemila anni.

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