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Thursday, 15 March , 2007 / ermes

“Though this be madness, yet there is method in ‘t”


douglas-hofstadter.jpgRiporto di seguito un articolo, letteralmente stupendo, apparso sull’ultimo numero dello speciale culturale del Sole 24 Ore in edicola ogni domenica, pubblicazione tra le rarissime in lingua italiana che ancora consentono, talvolta, orwelliane “boccate d’aria” per chi si trovi a vivere nel Regno dell’asfittico, il nostro borbonico, bizantino e genuflesso Belpaese. E’ articolo di svago, forse di impegno, di gioco, rimandi, ritorni… L’autore è Douglas Hofstadter, premio Pulitzer figlio di premio Nobel, una delle menti pensanti più autorevoli al mondo in una incredibile pletora di discipline: dalla matematica alla musica, dall’intelligenza artificiale alla filosofia della scienza, dalla fisica alle teorie dei giochi, alle scienze cognitive e ovviamente e pazzamente etc. etc.

Grandemente conosciuto (ma dove? in quale mercato librario?) per il suo Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid, il nostro è anche traduttore dal russo dell’Eugenio Onegin di Puskin, ciò che non dovrebbe sorprendere chi conosca la sua passione per la parola e i sistemi di parole: discute e riflette e scrive correntemente, oltre che in inglese, sua lingua madre, anche in francese, tedesco, eppoi ancora spagnolo, italiano, olandese, svedese, polacco e… naturalmente mandarino (sic!) Invero, in altro testo egli si definisce “pilingual”, buon conoscitore cioè di 3,14159… idiomi, davvero pochi, eppure incredibilmente infiniti. S’è così arrivati una virgola di tempo in ritardo, egli ci scuserà, un segmento infinitamente piccolo di tempo quasi pari al limite di 0,01 da sinistra in ritardo, nel dedicargli opportuno posto nel Pantheon di Abeona; in effetti, oggidì l’è già il giorno successivo al 14 marzo – in english 3.14: obviously, pi day!

Andare pazzi per il 231
Mi hanno chiesto di scrivere sulla bellezza dei numeri. Ottomila battute, o giù di lì. Sarebbe geniale, ma io purtroppo non conosco ottomila battute, per non parlare di battute sulla bellezza dei numeri. Questa battuta (quale?) è forse l’unica che io conosca, e non è neanche sull’argomento giusto. Allora invece scriverò delle parole sulla bellezza dei numeri, le parole essendo assai più semplici delle battute.
Dunque, ci troviamo nell’anno 2007, per caso il 300º anniversario del grande matematico svizzero Leonardo Eulero (il cui nome mi fa pensare all’autore inglese Carlo Diccheni e al politico americano Giovanni Fizzogeraldo Chennedio). Noi esseri umani abbiamo l’abitudine di festeggiare anniversari come il 300º. Ma perché? Cosa c’è d’interessante nel numero 300? È vero che è uguale a 3 per 100, ma 100 è interessante? È vero che 100 è il quadrato di 10, ma 10 è interessante? Mah… è il numero di dita che abbiamo noi esseri umani. Alla fine, non ha molto a che vedere con la matematica. E se chiedete a un matematico se trova interessante 300, dirà sicuramente «No!» I matematici hanno un gusto un po’ particolare. Anzi, molto particolare.
Vi darò un esempio di un bel numero dal punto di vista di un matematico. Si tratta infatti di me, e io di professione non sono un matematico, ma vabbè; sono qualcuno che si occupa fin dall’infanzia della matematica, allora per questo scopo credo di contare (per così dire). (Contate le battute voi? Io no). Dunque. Stavo guidando, un paio di anni fa, sulla strada 231 dello Stato d’Indiana.
Questo fatto non è molto sorprendente, siccome vivo in quello Stato, ma quel che interessa, almeno leggermente, è che avevo guidato su quella strada delle dozzine di volte senza mai aver fatto caso al numero 231, ma quel giorno, chissà perché, mi dissi, «Ah! Mi par di ricordar quel numero. Dove l’ho visto prima?». E dopo un attimo di riflessione mi venne la risposta: è un numero “triangolare”, il che vuol dire che è la somma di tutti gli interi fino a un certo punto. Per esempio, 10 è triangolare:

o

oo

ooo

oooo

Si può concepire come una pila bidimensionale di palle di cannone. Per dirlo in cifre, 10 è uguale a 1 + 2 + 3 + 4. Immaginatevi adesso la stessa cosa ma invece di avere solo 4 livelli ne ha 21. Quante palle di cannone ci sarebbero? Cioè, quanto fa 1 + 2 + 3 + ………… + 19 + 20 + 21? La risposta? 231! Sì, il numero di quella strada statale, e io non avevo mai notato questa proprietà interessante del numero 231. Ma mi chiederete, perché 231 è interessante se 10 non lo è? Tutt’e due sono numeri triangolari! Ah, sì, avete ragione. Però, c’è qualcos’altro che ho dimenticato di dirvi, e che aumenta di gran lunga l’interesse di 231. Al momento di riconoscere il fatto che 231 è il numero triangolare di 21, mi dissi, «Ah, ma 21 non è anche lui un numero triangolare?». Vedete, le cose diventano più intrecciate. Eh, sì, in effetti, 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6. Dunque 21 è il numero triangolare di 6. Ma non siamo giunti alla fine!Anche 6 è un numero triangolare, perché 6 = 1 + 2 + 3. Abbiamo finalmente finito? Eh, no, mi dispiace. Anche 3 è un numero triangolare: 3 = 1 + 2. E qui si finisce davvero. Per riassumere, allora, 231 è il numero triangolare del numero triangolare del numero triangolare del numero triangolare di 2. Non c’è male, eh?
Ecco perché si può dire che 231 è interessante dal punto di vista di un matematico; perché possiede una descrizione molto semplice e sorprendente e, in un certo senso, molto bella. E finalmente, in più, questa proprietà di 231 è una cosa che si può generalizzare. Cioè, esiste una sequenza infinita di tali “triangoli iterati”, dove ogni nuovo elemento è il numero triangolare del suo predecessore. Guardate:
2 → 3 → 6 → 21 → 231 → 26796 → 359026206 → 64449908476890321 → 2076895351339769460477611370186681 → 2156747150208372213435450937462082366919951682912789656986079991221.
Come diciamo in inglese, “Let’s quit while we’re ahead”.
Crescono incredibilmente rapidamente questi triangoli iterati, non è vero? La ragione non è difficile da scoprire. C’è una formula per il numero triangolare di qualsiasi numero n, cioè n x (n+1) / 2. Prendiamo l’esempio di n = 21. Si calcola che 21 x 22/2 = 21 x 11 = 231. Giusto! Questa formula semplice implica che il numero triangolare di n conterrà (più o meno) due volte il numero di cifre in n. E vedete che questo fatto si realizza nella sequenza qui sopra. Il triangolo iterato successivo, se ve lo facessi vedere, occuperebbe due righe intere di testo, quello successivo occuperebbe quattro righe, poi otto, poi sedici, trentadue, e buonanotte. Se avessi voglia di finire in fretta questo articolo con le sue ottomila battute, mi basterebbe estendere la sequenza di triangoli iterati di solo quattro o cinque membri, e zacchete! Ecco fatto!
Ma non sono così pigro. Per niente. Inoltre ho ancora delle cose da dirvi. La nostra lezione non è ancora finita. Se si guardano questi triangoli iterati, si vede che finiscono tutti o in “1” o in “6”. Non all’inizio della sequenza, certo, ma dal terzo numero in poi è così. E questo fatto si può facilmente dimostrare (non lo faccio qui, ma è una buona sfida per quelli che si divertono matematizzando). Ma quand’è che avviene un “1” e quando avviene un”6″? Ahimè, la domanda diventa molto più dura.
Ci stiamo in effetti chiedendo, «Quando sarà pari un triangolo iterato, e quando sarà dispari?». Se rappresentiamo i triangoli iterati pari per “p” e quelli dispari per “d”, allora viene fuori questa serie di lettere:
pdpddppddddppdpdddpppddppdpddd…
Si percepisce qualche regolarità qui dentro? Ebbene, proviamo. Contiamo, per esempio, la lunghezza dei gruppetti di “d” e di “p”. Otteniamo questa nuova sequenza:
1112242113322113…
È intrigante, ma non si vede nessuna regola chiara. Magari tutti gli elementi della sequenza sono inferiori a 5. Una buona ipotesi! Sarebbe bellissimo, ma perché mai sarebbe così? O magari (saltando il primo “1”) c’è un ritmo di coppie: 11,22,42,11,33,22,11,… Un’altra buona ipotesi! Sarebbe bellissimo anche in questo caso , ma perché mai sarebbe così? Il mio amico fisico Greg Huber ha trovato un bel trucco per calcolare i termini di questa sequenza nascosta nei triangoli iterati, ed eccone i primi 50 per voi:

111224211332211323131311212113134232223111291111111…
¡Ay, ay, caramba! Quel 9 scassa tutto! Da dove diavolo viene?
geb.jpgIn uno scambio transatlantico di messaggi elettronici, un gruppo di amici matematici indagò questo piccolo mistero, e fu il matematico milanese Enrico Laeng a vedere più chiaramente di tutti. Egli dimostrò che tutto dipende dalla fattorizzazione in numeri primi di questi triangoli iterati enormi, e in particolare il segreto si nasconde nel numero di fattori primi della forma 4 n + 3 (per esempio, 19 o 23, ma non 17o 13). Non entrerò qui nei dettagli perché è troppo tecnico, ma si vede che una piccola domanda innocente che mi posi mentre guidavo sulla strada diventò per più di una settimana un rompicapo sottile per alcuni matematici sparpagliati qua e là nel mondo, e che la risoluzione della domanda ci portò fino alla distribuzione dei numeri primi, un ramo molto ricco e profondo della teoria dei numeri.
Tutti i matematici passano il loro tempo così? Beh, la maggior parte fa indagini simili, solo in spazi molto più astratti. Ma ovunque facciano le loro indagini, i matematici cercano regolarità nascoste, cercano sorprese, misteri, ordine nel caos, e caos nell’ordine. E come abbiamo appena visto, dei grandi misteri dove ordine e caos sono intimamente mescolati possono spuntare nei contesti più modesti e quotidiani. Basta avere la mente aperta e curiosa.
Dunque, sono finalmente giunto alla fine del mio articoletto sulla bellezza dei numeri. Mi domando quante battute contiene. Guardiamo un po’. Il programma Word ne conta 8.192, e ogni battuta contiene 8 bits, allora 65.536 bits in tutto. Ah! Mi par di ricordar quel numero. Dove l’ho visto prima? Che proprietà matematica potrebbe avere? Hmm…

“La ricerca non ha fine”… Heri dicebamus

11 Comments

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  1. NickPolitik / Mar 17 2007 12:00 AM

    Bè…vi propongo una favolosa equazione matematica:
    exp(i*pigreco)+1=0
    Mi rendo conto che è poco comprensibile (a causa della limitatezza degli strumenti per la scrittura in questo spazio per i commenti). Cerco di spiegarla a parole:
    1) exp sta per “e elevato a”, con e numero di Nepero
    2) i è l’unità immaginaria
    3) pigreco… va da sè
    Se ci fate caso sono riunite in un’unica espressione 5 costanti matematiche fondamentali: pi greco, numero di nepero, unità immaginaria, 1 elemento neutro per la moltiplicazione, 0 elemento neutro per l’addizione. Poi l’operazione matematica elementare di addizione e quella di moltiplicazione… e il segno di uguaglianza. In una piccola formula è condensata una fetta importante della matematica.

    Per la cronaca… 65536 è pari a… 2 elevato alla 32… bobo vieri, ins… e bella contrograttata… ogni riferimento a preti portasfiga è puramente casuale!

  2. ermes / Mar 17 2007 12:18 AM

    Sorry, but I don’t believe in bad luck, destiny and so on…

  3. Mariantonietta Sorrentino / Mar 17 2007 12:23 AM

    Commento ricevuto sul servizio “Fai Notizia” del sito di Radioradicale:

    Invidio benevolmente Douglas Hofstadter che ”discute e riflette e scrive correntemente, oltre che in inglese, sua lingua madre, anche in francese, tedesco, eppoi ancora spagnolo, italiano, olandese, svedese, polacco e… naturalmente mandarino“.

    Non solo lo invidio come linguista (sebbene io abbia abbandonata da tempo la mia originaria informazione), ma perchè, possedere tante lingue, significa essere in possesso di codici che vanno al di là del rapporto tra significante e significato. Un mondo di novità, modi di pensare, Che ti apre la mente.

    Buona serata!

    in Ot.

    Sono passata dal tuo spazio in WordPress e volevo sapere: è Paganini l’autore del brano che sto ascoltando?

  4. ermes / Mar 17 2007 12:30 AM

    Condivido in pieno! Beato lui…

    Ci sei andata vicino: si tratta di un brano di Beethoven, eseguito dal maestro Paganelli, della Boston Philarmonic Orchestra (stupendo!) Gulp!

  5. NickPolitik / Mar 17 2007 12:06 PM

    Ma sì, era una battuta. Non esiste sfiga, nè scaramanzie varie!

  6. NickPolitik / Mar 17 2007 12:41 PM

    Scusate per prima, ma 2 alla 32 non è 65536. Ho fatto un errore madornale. E’ 2 alla 16 che fa 65536. Tra l’altro 65536 è il numero massimo possibile di porte utilizzabili nelle connessioni internet e il campo per gli indirizzi nel protocollo UDP o TCP è di 16 bit per le porte. Sapendo questo, non potevo permettermi di fare un errore simile. Scusate ma devo fare un po’ di autoflagellazione mediatica… voglio riconquistare il cilicio d’oro e toglierlo alla Binetti: ce la metterò tutta.

    Comunque:

    2 al quadrato fa 4
    4 al quadrato fa 16
    16 al quadrato fa 256
    256 al quadrato fa 65536

    Ma la cosa più interessante è questa

    2 elevato a (2 elevato alla 0) = 2
    2 elevato a (2 elevato alla 1) = 4
    2 elevato a (2 elevato alla 2) = 16
    2 elevato a (2 elevato alla 3) = 256
    2 elevato a (2 elevato alla 5) = 65536

    In realtà continuando con calcoli simili si arriva alla stessa proprietà scritta nell’articolo, cioè che la lunghezza del numero raddoppia più o meno ad ogni passo.
    E a partire dal terzo numero tutti i numeri finiscono per 6… ma questo è ovvio, perchè nel prodotto fra due numeri, alla cifra meno significativa del risultato contribuiscono solo le cifre meno significative dei fattori. Ad esempio se si moltiplica 3483…23487756 per 87346…28233 sicuramente il prodotto fra questi numeri ha come cifra meno significativa 8 (6*3=18, e si considera solo la meno significativa). Perciò nella successione in analisi, essendo sempre i termini terminanti in 6 dal terzo in poi, si ha che tutti i termini della successione finiscono per 6 (6*6=36).

    L’autore ha scelto di evidenziare il 65536 perchè è ottenuto in 5 passi dal 2 con il procedimento che ho esposto, così come 231 è ottenuto in 5 passi dal 2 col procedimento da lui esposto. Solo che nel caso dell’elevamento a potenza i numeri cominciano a raddoppiare di lunghezza un passo prima che nel caso esposto dall’autore dell’articolo.

    Mi fermo qui perchè se mi metto a ricercare strumenti di analisi più potenti, non vado più avanti con quello che dovevo fare per la tesi.

  7. Oggi sono uno stupido / Mar 18 2007 6:19 PM

    Meno male.

  8. ermes / Mar 21 2007 2:51 PM

    Come non adorarli!!!!!!!!!
    A proposito di metodi e di follie!

    da Repubblica.it, 20 marzo 2007
    di Gaia Giuliani

    Scoprire il pianeta granello dopo granello
    Dagli Usa una società che colleziona sabbia
    Più di 200 membri in tutto il mondo. I reperti richiesti da molte università
    A pagamento. Perché quei campioni raccolti tracciano la storia del pianeta

    Si chiamano psammofili, o arenofili. Il loro presidente vive in quello che gli amici ormai definiscono un polveroso “nerdatorium”, e la loro missione è scoprire il mondo granello dopo granello. Si tratta dei “sand collector”, ovvero i collezionisti di sabbia, tutti membri della International sand collectors society che ha sede in Conneticut, e conta più di 200 membri che arrivano da 34 stati dell’unione americana e da ben 13 paesi stranieri. La parola “psammofili” è un neologismo che hanno coniato unendo le parole greche psàmmos e philes, ovvero amanti della sabbia. Arenofili si intuisce più facilmente.

    La mente dell’organizzazione è Nick D’Errico, ex percussionista e collezionista di cavatappi che ha abbandonato per sempre musica e apribottiglie dedicandosi alla passione per i microgranuli: “La sabbia segue la stessa dinamica dell’immaginazione, bisogna abbandonarsi alle sue suggestioni”. Che per lui e gli affiliati della società vuol dire “viaggiare nello spazio e nel tempo conoscendo i granelli a forma di stelle delle spiagge delle isole Tonga, quelli neri delle Hawaii, il corallo intenso degli ingrandimenti delle sabbie neozelandesi. E la magia di analizzare al microscopio la “polvere” del sito di Gettysburg dove l’America combattè una delle sue più importanti battaglie per la libertà”.

    Il Sacro Graal del collezionista della società? Riuscire a mettere le mani su qualche milligrammo di sabbia lunare. Perché gli iscritti nutrono una passione sfrenata per l’oggetto della loro sterminata collezione: hanno un giornale, il Sand Paper, newsletter, pagano una quota annuale di ben 12 dollari intrattenendo fitti scambi epistolari per scambiarsi i loro impalpabili gioielli. Riservando buona parte delle loro escursioni vacanziere alla geologia: mentre moglie e figli sguazzano al mare o in piscina, loro si aggirano curiosi con il naso all’ingiù, carichi di porta rullini fotografici in cui custodire i preziosi ritrovamenti. Chiedendo di fare lo stesso ai propri studenti come nel caso di un membro che insegna in un liceo americano: uno o due voti in più in pagella a chi riporta qualche milligrammo dalle vacanze.

    Perché la sabbia ha anche uno scopo educativo tanto che sul sito dell’associazione c’è in vendita un “sand kit” per le high school. Completo di Cd-rom, campioncini esplicativi e piccoli contenitori da usare per conservare e classificare i reperti. Che hanno anche un valore scientifico: un’università del Maryland che studia la ‘Sindrome della guerra nel Golfo’ ha chiesto a D’Errico l’invio di qualche campione del Medioriente, e il dipartimento di fisica dell’università del Michigan ha fatto una richiesta analoga nell’ambito di uno studio dedicato alla cosiddetta “sabbia sonora” o “sabbia canterina”.

    Tra i prossimi obiettivi dei collezionisti c’è la creazione di un museo della sabbia, ma mancano ancora i fondi necessari. Per ora tutto il materiale, che ormai ammonta a una mezza tonnellata, è stipato nella casa del presidente, una residenza opacizzata dai depositi sabbiosi sparsi ovunque, ribattezzata “nerdatorium”. E naturalmente nelle case dei soci, che aggiungono campioni su campioni ai loro magazzini, vere e proprie stanze dei sogni in cui rincorrere la lunga vita dei micro frammenti rocciosi levigati dalle tempeste che hanno fustigato i bordi dell’oceano. O che hanno perso le loro asperità grazie allo scorrere lento ma incessante delle acque dei fiumi, o che magari sono emersi dai fondali marini come conchiglie, poi divenute frammenti circondati da sedimenti di calcio. Un microcosmo tutto da esplorare, passo dopo passo.

  9. Eva Riscopr / Oct 21 2011 3:53 PM

    Umberto Bottazzini, L’utile errore di Saccheri, Il Sole 24 Ore Domenica, 16.10.11

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